¡Integrando con Paco!

3. TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN

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P. ¿Cómo está profe? Le cuento que he consultado algunos libros de Cálculo y me encontré con ejercicios de integral definida y otros de integral indefinida que no pude resolver. Intenté por todos lados y nada. Bueno, excepto MatLab o Maxima.

Hola Paco! Tienes alguno de esos ejercicios a la mano

P. Claro. Por ejemplo:

P. Ok! Paco. Una de las enseñanzas que te deja tu exploración a otras fuentes de información (libros por ejemplo) es que tu formación aún es incompleta y que no puedes resolver todos los problemas y ejercicios que se presentan en Cálculo Integral. Otra enseñanza es que debes saber discernir entre lo que puedes resolver y lo que, por tu “incompletud”, no puedes

P. ¿Incompletud? Qué es eso profe

Disculpa Paco. Me vino a la memoria un teorema de un lógico de principios del siglo pasado, el teorema de incompletud de Gödel. Este teorema motivó a Alan Turing a estudiar qué funciones eran susceptibles de poder ser calculadas y cuáles no.

Pero dejemos a un lado esta divagación y como hacen los dermatólogos, vamos al grano.

P. Que chiste tan malo. Usted siempre tan descachado

Está bien Paco. Concentrémonos ¿Recuerdas la regla de la cadena?

P. Si profe. Esa regla la usamos para derivar funciones compuestas. Usted nos decía que derivábamos la función externa y la multiplicábamos por la derivada de la función interna ¿correcto?

Muy bien Paco, como alumno haces que mi labor no sea en vano. Lo que expresaste en palabras lo escribíamos así:

¿Cuál es f(g(x)) y cuál g(x)?

Huy profe! Que teso es usted, me dio la función que quería integrar. Eso quiere decir que la integral de mi ejercicio es precisamente la función compuesta que derivé. Humm… pero cómo hago para adivinar esa función compuesta?

Excelente Paco. Estás pensando con profundidad. Ahora déjame ayudarte con una de las llamadas técnicas de integración. Para este primer caso usaremos una de ellas, la cual es aplicable en funciones cuya primitiva es precisamente una función compuesta

3.1 Regla de sustitución

De acuerdo al ejercicio anterior, podemos enunciar el siguiente teorema:

Teorema 10. Regla de la cadena para antiderivación

Sea g una función derivable y se el contradominio de g algún intervalo I. Suponga que f es una función definida en I y que F es una primitiva de f en I, entonces

Observa y dime cuál es g(x), g´(x) y cuál es f(g(x))?

P. Comprendo profe el truco. g(x)= x² +1, g´(x)= 2x y f(g(x)) = (x² + 1)^1/2

Muy bien Paco. Ahora según el teorema dy/dx = 2/3(x² + 1)^3/2 + c

Sencillo Paco, no hay truco. Sólo una buena observación para identificar las funciones de la función compuesta y sus derivadas

Pero si quieres trucos, vamos a utilizar uno de ellos denominado regla de sustitución o de cambio de variables, veamos:

Primero. Cambia g(x) por la variable u. Es decir u = x² + 1

Segundo. Deriva implícitamente en ambos extremos de la ecuación. Es decir du = 2xdx

Tercero. Sustituye en la integral que vas a calcular. Es decir:

Puedes integrar la integral obtenida Paco?

P. Claro profe. El resultado es 2/3u^3/2 + c

Vamos bien Paco

Cuarto. En la solución, vuelve a sustituir u por g(x)

P. Ya la pillé profe. Entonces me queda 2/3(x² +1)^3/2 + c. La solución que hayamos por el teorema anterior. Me gusta más este truco de cambio de variable o de sustitución.

En algunos casos es más directo el teorema. En el fondo, tanto el teorema como el truco son lo mismo. Este truco nos lleva a esta definción:

Definición 4. Regla de sustitución

Si u = g(x) es una función diferenciable en el rango I, y f es continua sobre I, entonces:

Bueno Paco, Desarrollaremos dos ejemplos más para que puedas afrontar los ejercicios propuestos en esta sesión, algunos de ellos requieren de trucos adicionales:

Ejemplo 3.1.1 Usa la regla de la cadena para integrar la siguiente expresión

En este ejemplo fíjate que si tomamos g(x) = 3x² + 1, entonces g´(x) = 6x

P. Pero tenemos 5x, no funciona la regla de la cadena!

Y si reescribimos la expresión así:

P. Claro profe. Eso me pasa por ser tan apresurado

Has un esfuerzo mental y dime cual sería F(g(x))?

P. Haber… si tenemos 4 en el exponente era porque la primitiva tenía 5… pero… ya! Profe, la función primitiva tenía que ser: 1/6(3x² + 1)⁵ + c.

Muy bien Paco. Veamos como sería con cambio de variable:

Sea u = 3x² +1

Entonces du = 6x

P. Tiene razón profe, con la regla de la cadena no fue tan complicado

Veamos otro ejemplo

Ejemplo 3.1.2. Dime Paco cómo resolverías esta integral?

P. Humm…No profe, ahí si me corchó. Por mucho esfuerzo mental que haga no veo la solución

Quizá te rendiste antes de luchar. Intentemos con cambio de variable

Ahora si, resuélvela

Muy bien Paco, al sustituir nuevamente te da esta solución:

P. Tiene razón profe. No era tan complicado

Ok! Paco, ahora estás preparado para resolver mas integrales

Ejercicios 8. Del libro Calculus de Gilbert Strang, el cual puedes bajar en http://ocw.mit.edu/ans7870/resources/Strang/strangtext.htm, he seleccionado los siguientes ejercicios: