¡Integrando con Paco!

Que tal Paco ¿Trabajaste con los ejercicios propuestos?

P. Si profe, pero tengo tres inquietudes

¿Cuáles Paco?

P. La primera tiene que ver con el noveno ejercicio. Traté de hacerlo por sustitución pero me fue imposible ¿no será que le faltó alguna t, profe?

Sabía que, para algunos estudiantes, algún problema iba a presentar este ejercicio. No fuiste la excepción Paco. Recuerdas el mensaje de Alan Turing? No todos los problemas se pueden resolver, al menos con lo que sabemos. Sin embargo, este ejercicio tiene una solución inmediata.

P. Créame profe que le busqué por todos lados y no vi solución.

Y si te regresas a la última sesión de la Integral Indefinida?

P. Haber… Huy profe, que pena. Tiene razón… está en la tabal de integrales y es la número 14.

Te recuerdo la segunda frase de esa sesión: “Otra forma de hallar las primitivas de una función es recurriendo a una tabla de integrales”. Precisamente escogí ese ejercicio para que tuvieras que recurrir a esta herramienta, como una alternativa a tu problema.

P. Igual pude recurrir a un programa de cálculo simbólico.

Ojo Paco. Los programas de cálculo simbólico los vas a usar para verificar, no para resolver tus ejercicios. Por otra parte, la tabla de integrales que presentamos en la sesión seis del primer capítulo, las puedes utilizar como ayuda a la solución de ejercicios.

P. Comprendo profe. Volviendo a los programas, desde allí surge mi segunda inquietud. Tuve problemas con la sintaxis de algunas integrales, especialmente la raíz cuadrada.

Es razonable Paco. Debes leer con más detalle las ayudas que te brindan esto programas. Sin embargo, te presento a continuación la solución de algunos ejercicios en tres de dichos programas. Los tres aceptan la siguiente sintaxis para raíz cuadrada: SQRT(expresión), la siglas vienen de las consonantes (sin repetir) de “SQuare RooT” o “raíz cuadrada”.

Integrando con DERIVE

Se usa el comando INT(expresión, variable). Por ejemplo INT(1/sqrt(1-t^2),t) es el comando para integrar tu ejercicio problemático. En la siguiente imagen podrás observar la solución a tres de los ejercicios planteados. Al lado derecho aparece la solución. La respuesta que aparece como ASIN(t) es lo mismo que “ARCO SENO de t” o sen^-1t.

Recuerda que debes incluir la constante de integración a cada solución

Integrando con MAXIMA

Maxima utiliza el comando integrate(función, variable). Observa en la imagen que la solución incluye la constante de integración

Integrando con MatLab

Similar a DERIVE, utiliza el comando int(expresión, variable). Recuerda de iniciar con el comando syms var1 var2 var3… Donde var corresponde a las variables a ser utilizadas. Para el caso de nuestros ejercicios: x, t, n.

P. Genial esto de los programas de cálculo simbólico. Pero qué pasa con las integrales definidas? Hemos realizado sólo ejemplos con integrales indefinidas.

Tienes razón Paco. Por ello decidí dejar en un capítulo aparte las técnicas de integración. Estas técnicas sirven para los dos tipos de integrales que vimos en los capítulos anteriores.

Par el caso de las integrales definidas, el proceso es el mismo con una excepción. Al cambiar las variables por sustitución, debes tener cuidado con los límites de integración. Con los siguientes ejemplos lo comprenderás:

Ejemplo 3.1.3

Espera Paco. Es aquí donde debes tener cuidado con los límites de integración. Tu proceso de integración está correcto hasta que escribiste la última expresión, la cual no es correcta. Te explico:

Los límites inferior y superior, 2 y 7 respectivamente, son para la función cuya variable es x. Al hacer el cambio de variable 2 + x por u, es fácil que me respondas la siguiente pregunta: Si x = 2 o x = 7 ¿a qué es igual u?

P. Entiendo. Los nuevos límites de integración son 4 y 9.

Puedes verificarlo por ejemplo en Maxima así:

integrate(f(x)=sqrt(2+x),x,2,7)

Vamos a un último ejemplo:

Ahora puedes practicar con los siguientes ejercicios:

Ejercicios 9. Calcular