¡Integrando con Paco!
miércoles, 29 de agosto de 2007
Sesión 3
3.2 Integración por partes
En el primer miembro tenemos la integral de la derivada, por ser inversas podemos escribir:
O sea:
¡Cordial saludo Paco!
En esta sesión vamos a trabajar con una técnica de integración muy interesante, “la integración por partes”.
P. Creo saber porque dice que es interesante. Algunos amigos que ya cursaron cálculo integral, me dijeron que es la técnica que más problemas les causó.
Lo de interesante se confunde con la complejidad. En realidad el método que vamos a explorar es sencillo, sólo que algunas soluciones de integrales obligan a utilizar tanto este método como los anteriores. Es decir, en una integral es posible que se tenga que recurrir al método por sustitución y al método de integración por partes, una y otra vez.
P. Tenían razón mis amigos… la cosa se complica!
¡No, Paco! Se hace más laborioso, pero no más complejo. Lo interesante, insisto, no es la complejidad, es la posibilidad de aplicar simultáneamente los conceptos previos.
Empecemos y no dilatemos más nuestro trabajo ¿Recuerdas cómo se deriva un producto de funciones? Por ejemplo, f(x)g(x)
P. Si profe. La derivada de una función producto es igual a la derivada de la primera función multiplicada por la segunda función, mas la derivada de la segunda función multiplicada por la primera función.
Correcto Paco! Lo que dijiste en palabras es simbólicamente lo siguiente:
P. Bueno, si usted lo dice. Lo entiendo mejor con mis propias palabras
¿Qué pasa Paco? Te noto un poco extraño ¿no quieres que sigamos con nuestro estudio de integrales?
P. Que pena profe! Tiene razón, no estoy concentrado. Tengo mi cabeza en otros problemas, precisamente no de integrales
Todos los tenemos. Trata de dejarlos a un lado mientras trabajamos. Igual no los vas a solucionar enojándote conmigo.
P. Tiene razón profe. Sigamos con nuestro trabajo.
Ok! Paco. En la expresión anterior vamos a integrar en ambos miembros de la igualdad
En el primer miembro tenemos la integral de la derivada, por ser inversas podemos escribir:
P. ¡Que bien profe! Ahora si me estoy motivando, adiós a los otros problemas
Por el momento Paco. Ahora hagamos una transformación de términos:
Esta es la famosa fórmula para integrar por partes
P. ¡Vaya formulita!
Esta fórmula Paco se puede expresar en otra forma. Supongamos que f(x) = u y g(x) = v, a qué sería igual du y dv?
P. Haber… du = f’(x)dx … dv = g’(x)dx… ¿es correcto?
Correcto Paco. Si reemplazamos en nuestra formulita, obtendríamos:
P. Más sencilla profe… así simplificada es más fácil de trabajar
No es más sencilla, es la misma fórmula expresada de otra forma. Su simplificación es sólo en la simbología utilizada.
Veamos un ejemplo empleando las dos formas. Vamos a resolver la siguiente integral:
P. Huy profe… son más sencillos mis problemas personales. Creo que me volveré a concentrar en ellos
No seas tan prevenido Paco. Antes de anticiparte a problemas inexistentes, concéntrate en la solución que le vamos a dar a esta integral
Una sugerencia inicial, es hacer f(x) igual a una de las expresiones de la integral de tal forma que su derivada sea una expresión más simple. Me explico, si eligiéramos f(x) = cos x, su derivada f´(x)=-sen x, no es una expresión más simple.
P. Ya profe, la cogí… hagamos f(x) = x, ya que su derivada f´(x) es igual a dx
Que bien Paco! Luego de seleccionar f(x), la otra expresión debe ser igual a g´(x). Es decir g´(x) = cos x dx ¿A qué es igual entonces g(x)?
P. La hallo integrando… la integral de cos x…. ya! g(x) = sen x
Muy bien Paco! Ya tenemos todas las expresiones de la formulita… reemplacemos
O sea:
¡Sencillo Paco!
P. Si señor. No era tan complejo como me lo dijeron
Juzga por tu experiencia, no por la de los demás! Miremos Paco que usando la otra forma, el procedimiento es igual. Te lo voy a explicar pos pasos:
Paso 1. Hagamos u = x (su derivada hace más simple la integral)
Paso 2. Hallamos du = dx
Paso 3. Hagamos dv = cos x
Paso 4. Hallamos v = sen x (integrando)
Paso 5. Reemplazamos en la formulita:
P. Tiene razón profe. Es lo mismo uno u otra forma de presentación. Créame que me ha servido esta sesión para despejar mi cabeza. Ahora atenderé mis otros problemas, los cuales son más simples. Hasta pronto profe.
Hasta la próxima Paco, te dejo el siguiente video para que lo observes en casa:
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