¡Integrando con Paco!

P. ¡Hola profe! Estuve consultando más ejemplos de integración por partes y me encontré con unos ejercicios que me gustaría discutir con usted.

Está bien Paco. Pero antes quiero que resolvamos unas cuantas integrales para que nos calentemos.

P. ¡Hágale profe!

Ejemplo 3.2.1

Resolver la siguiente integral

¿Cómo iniciarías Paco?

P. Fácil profe. Haría u = x, porque es más simple su derivada, du = dx. Luego haría dv = e^2x dx, cuya primitiva es v = 1/2e^2x.

Excelente Paco. Entonces nuestro ejercicio está resuelto, veamos:

Veamos otro ejemplo

Ejemplo 3.2.2

Integrar

Para este caso es conveniente hacer u = ln x, ya que du = 1/x dx. Por otra parte, si hacemos dv = x³dx, al integrar nos da v = x⁴/4. Sustituye Paco y dime por qué escogí esa u.

P. Ok profe. Veamos… al reemplazar en nuestra formulita…

Entiendo porque escogió u = ln x. La derivada es una potencia de x y se puede simplificar con x⁴. A propósito profe, un ejercicio similar a este no pude resolverlo en MathLab

Muy bien Paco. Te recuerdo nuevamente que los programas de cálculo simbólico traen ayudas para este tipo de problemas. En MathLab y otros programas como Maxima, la función logaritmo natural tiene la siguiente sintáxis: log(x). Es decir, si quieres resolver la integral anterior por Maxima, deberías haber escrito: integrate(x^3*log(x),x)

P. Ok profe. Pero esta expresión se confunde con logaritmo decimal (log x)

Es cierto. Si tienes que utilizar la función logaritmo decimal, en MatLab debe usar la función log10(x) y en Maxima definirla así define(log10(x),log(x)/log(10))

Ejemplo 3.2.3

Ahora vamos a nuestro tercer ejemplo. Resolvamos la siguiente integral:

Aquí vamos a hacer u = x, ya que du = dx. Por otra parte, haremos dv = (x-1)^1/2dx ¿Cómo hallamos v?

P. Por sustitución profe. Déjeme hallarla…

Haré z = x – 1. Uso z ya que empleamos u en la primer parte. Entonces dz = dx… al sustituir, obtendría:

Muy bien Paco. Ya tenemos los cuatro elementos de nuestra formulita. Terminemos sustituyendo en ella, así:

Finalmente, podemos simplificar esta última expresión así:

P. ¡Que bien profe! Usted es mi héroe

Me alegra Paco que haya regresado tu buen sentido del humor. Ahora si dime que otro problema encontraste

P. Es este profe:

¿Qué problemas tuviste Paco?

Que llegué a la misma integral y no sé cómo continuar?

Dime qué hiciste?

P. Bueno. En primer lugar ninguna u que escogiera su derivada hacía más simple la integral. Escogí entonce u = e^x cuya derivada es du = e^x dx. Luego tomé el valor de dv = cos x dx y al integrar v = sen x. Al remplazar en la fórmula de integración por partes y resolver, obtuve:

Ahí está mi segundo problema. La segunda integral es tan compleja como la primera. Sin embargo volví a integrar por partes esta segunda integral. Hice u = e^x cuya derivada es du = e^x dx. Luego tomé el valor de dv = sen x dx y al integrar obtuve v = -cos x. Aplicando nuevamente la fórmula, obtuve:

Finalmente al reemplazar en la primera expresión, obtengo:

Hasta ahí llegué profe. Tendría que aplicar la integración por partes una y otra vez y el resultado seguiría igual de complejo

Bien por tu proceso Paco. Mal por tu falta de observación. ¿Qué ocurriría si sumáramos en ambos miembros de la igualdad el primer término de la expresión?

P. Hummm. Huy que torpe profe. Merezco su regaño… al sumar …

Muy bien Paco. Finalmente, trata de resolver los siguientes ejercicios adicionales:

Ejercicios 10

Calcular las siguientes integrales

También puedes practicar con los ejercicios propuestos por la profesora Consolación Ruiz Gil (http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/integra_por_partes/index.htm) en el siguiente applet: