¡Integrando con Paco!

jueves, 13 de septiembre de 2007

Sesión 5

3.3 Integración por descomposición en fracciones parciales

P. Hola profe! Resolví todos los ejercicios que me propuso. Ayer mi primo me propuso una integral que también resolví exitosamente. Como usted lo dijo en la sesión anterior, tuve que recurrir a varias integraciones, pero con las técnicas aprendidas no tuve problema

¡Que bien Paco! Muéstrame el ejercicio de tu primo

P. Observe profe la calidad de alumno que tiene, mi primer paso fue el siguiente:

Correcto! Separaste la fracción en dos fracciones más simples. Y después?

P. La segunda integral su solución es ln(x-1). Ahora tocaba solucionar la primera. Recurrí al método de sustitución así: hice u = x – 1, entonces du = dx. Para sustituir tuve que observar que x = u + 1 (despejando de la primera expresión). Luego,

Me sorprendes Paco. Volviste a separar las fracciones! Finalmente qué obtuviste como solución?

P. Sencillo profe. Sustituí u por x -1 y llevé el resultado a la primera expresión, así:

Tu solución es correcta, excepto por un detalle: -1 + c es otra constante, por lo que tu solución se puede escribir así:

Bueno Paco, tu ejercicio me da la oportunidad de explicarte otra técnica de integración. La expresión que integraste es un fracción algebraica que pudiste descomponer fácilmente, así hayas tenido que recurrir a hacerlo dos veces. ¿Qué harías si tu fracción fuera 12/(x²- 4)?

P. Haber profe, déjeme pensar… No… no veo cómo. Siga explicando profe

Ok Paco! Primero vamos a recordar algo: ¿Cómo sumarias estas dos fracciones 4/(x – 3) + 3/(x + 2)?

P. Hallo un común denominador y… Déjeme desarrollarlo

Adelante Paco

P. Bueno. El común denominador es (x - 3)(x + 2), entonces,

Muy bien Paco. Veo que haces cálculos mentales, eso es bueno para evitar pasos adicionales… ahorra tiempo. Tu expresión final, igualmente se puede escribir así:

Ahora te pregunto. ¿Cómo calcularías la siguiente integral?

P. Humm... Sencillo, si recurro a la expresión anterior, me quedaría:

Pero, ¿qué hubieras hecho si no conocieras la expresión original?

P. Humm… Ni modo profe… corchado

Tendrías que regresarte de algún modo en el proceso que realizaste, es decir el proceso inverso a la suma de fracciones. Este proceso inverso se conoce como descomposición en fracciones parciales. Te voy a explicar algunos casos

Caso 1. Fracción propia con factores lineales

Este caso es aquel donde tienes en el denominador factores de la forma (ax + b). Es decir, factores lineales

Por ejemplo, la fracción (7x – 1)/(x² – x – 6), qué tipo de denominador tiene?

P. Cuadrático profe

Es cierto, pero si lo factorizas te quedaría así (7x – 1)/[(x - 3)(x + 2)]. Factores lineales!

El método de descomposición parte del supuesto de que la expresión

(7x – 1)/(x² – x – 6) tuvo su origen en la suma de fracciones simples o parciales cuyos denominadores son (X – 3) y (x + 2). Es decir:

Donde A y B son dos números reales. Si logramos encontrar esos numeradores, resolvemos el problema.

Si sumamos las dos fracciones de la derecha, obtendríamos:

Sabemos que en ambos miembros de esta ecuación los denominadores son iguales, por lo que podemos igualar los numeradores:

7x -1 = A(x + 2) + B(x – 3)

Hay dos métodos de encontrar nuestros dos números:

Método 1. Desarrollamos la expresión del lado derecho de la ecuación:

7x – 1 = Ax + 2A + Bx – 3B

Reunimos los términos en x (factorando)

7x – 1 = (A + B)x + (2A – 3B)

Aquí está el éxito del método. Los coeficientes miembro a miembro de la igualdad deben ser iguales. Es decir,

A + B = 7

2A – 3B = -1

Hemos obtenido así, un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas. Su solución, para no alargar la explicación, es A = 4 y B = 3.

Método 2. Este es más directo, pero no siempre funciona. Buscamos valores de x que hagan cero algún término del miembro derecho de la ecuación 7x -1 = A(x + 2) + B(x – 3)

Veamos… Si x = 3, entonces al reemplazar… 21 - 1 = A(3 + 2) + B(3 -3), luego 20 = 5A. de donde concluimos que A = 4.

Ahora… Si x = -2, en forma similar encontramos que B = 3

P. Más simple el método dos

Cierto, pero no siempre funciona. Recuérdalo. Finalmente podemos escribir:

Veamos un ejemplo de aplicación de este primer caso

Ejemplo 3.3.1. Calcular la siguiente integral:

Vamos a descomponer en fracciones simples la fracción que hay en la integral. Lo haremos por pasos Paco, para que comprendas mejor

Paso 1. Factorizamos el denominador (para verificar factores lineales)

Paso 2. Igualamos la última expresión a una suma de fracciones simples, tantas como factores lineales tengamos (en este caso 3)

P. Se complica la cosa... ahora son tres incógnitas

No te adelantes Paco, quizá por el método corto las hallemos. Sigamos

Paso 3. Sumamos las fracciones e igualamos numeradores:

Paso 4. Intentamos con el método corto, de no resultar debes resolver le sistema de ecuaciones resultante al igualar los coeficientes de cada término en x

Veamos… si x = 0, entonces -1 = A*(-2)*1, de donde A = ½

Si x = 2, entonces 1 = 2B*(3), de donde B = 1/6

Si x = -1, entonces -2 = -C*(-3), de donde C = -2/3

P. Tenía razón profe. Me apresuré a concluir que el ejercicio era complicado

Paso 4. Reemplazamos los valores hallados

P. Huy profe! Tanto trabajo para ese resultado tan insignificante

Todo depende de donde lo mires. Si ese número representara el interés mensual (12%) que te aplican para un préstamo, pensarías lo contario.

En la solución utilizamos números aproximados a tres cifras decimales. La solución más exacta es 0.1106. Esto nos advierte que debemos tener cuidado con el uso de las aproximaciones. Veamos ahora otro caso.

Caso 2. Fracciones propias con factores lineales múltiples

Se presenta cuando uno o más factores lineales se encuentran elevados a una potencia entera y positiva. Es decir, factores de la forma (ax + b)ⁿ. Por ejemplo,

En este ejemplo hay dos factores lineales múltiples. La expresión en el denominador nos sugiere que las fracciones simples o parciales deben ser a lo sumo cinco. Una por cada factor (una para x, otra para x², otra para x³ y así sucesivamente).

P. Explíquemela más despacio profe. Lo que dice es que si tenemos (x – 2)¹⁰, tendremos 10 fracciones parciales?

Tú lo has dicho paco! Pero vamos al grano. Tomemos la fracción anterior e igualémosla a las cinco fracciones simples así,

Al sumar e igualar los denominadores, obtendríamos esta expresión:

X⁴ + x² + 16x – 12 = Ax²(x – 2)² + Bx(x – 2)² + C(x – 2)² +Dx³(x – 2) + Ex³

P. Tremenda expresión profe! Nos saldrán cinco ecuaciones y cinco incógnitas

Tratemos de hacerlo por el método corto…

Si x = 0, entonces -12 = 4C, de donde C = –3

Si x = 2, entonces 40 = 8E, de donde E = 5

No hay más posibilidades de hacer otro término cero. Por ello mi advertencia anterior. Sin embargo, las ecuaciones que vamos a obtener serán sólo tres y no las cinco que tanto te asustaron. Eso ya es ventaja Paco.

Reemplacemos en la expresión anterior los valores encontrados y desarrollemos los paréntesis,

X⁴ + x² + 16x – 12 = (A + D)x⁴ + (-4A + B – 2D + 5)x³ + (4A - 4B – 3)x² + (4B + 12)x - 12

He agrupado el resultado en términos de x. Si igualamos coeficientes de ambos miembros de la ecuación, obtendríamos el siguiente sistema de ecuaciones:

A + D = 1

-4A + B – 2D + 5 = 0

4A - 4B – 3 = 1

4B + 12 = 16

De esta última B = 1. La solución de las otras variables es muy sencilla. Finalmente obtendríamos que: A = 2, B = 1, C = -3, D = -1 y E = 5. Reemplazando en las fracciones parciales,

Caso 3. Fracciones propias con factores cuadráticos

P. En el caso uno vimos una fracción con factor cuadrático ¿por qué este es un caso distinto?

La diferencia Paco es que el factor en el ejemplo del caso uno se pudo, mediante factorización, expresar en factores lineales. En este caso se trata de factores cuadráticos que no tienen raíces reales. Es decir, que no se pueden expresar como factores lineales. Por ejemplo,

Para no alargarnos en explicaciones, este tipo de factores se origina de fracciones simples cuyo numerador es de la forma ax + b

P. Ahora entiendo! En el caso que sea un factor cúbico, en la fracción simple el numerador es cuadrático

Algo así Paco. Pero concentrémonos en nuestro caso. De acuerdo a lo anterior, la fracción propia la podemos expresar así,

El proceso que sigue es similar a los anteriores. Sumamos en el miembro derecho de la ecuación e igualamos numeradores,

x² – x – 5 = (Ax + B)(x - 1) + C(x² + 2x + 2)

Si x = 1, entonces -5 = 5C, de donde C = -1

Si x = 0, entonces -5 = -B + 2C, de donde… no podemos hallar nada. Recurramos entonces al método largo y teniendo en cuenta que ya conocemos C. Al desarrollar la expresión anterior y agrupar, obtenemos:

x² – x – 5 = (A – 1)x² + (-A + B – 2)x – (B + 2)

Igualando los coeficientes de x² y los términos independientes,

A – 1 = 1, de donde A = 2

B + 2 = 5, de donde B = 3

Finalmente, la descomposición en fracciones parciales sería:

Si está fracción la tuviéramos en una integral, puedes darte cuenta que su cálculo es sencillo.

P. Profe! Y si la fracción es impropia?

¿Qué harías Paco si quisieras convertir 5/4 en fracciones propias?

P. La expreso como una fracción mixta

Y eso cómo lo haces?

P. Divido el numerador con el denominador. Para 5/4 me da 1 y el residuo es 1, es decir 5/4 = 1 + ¼

Has obtenido la respuesta a tu pregunta. Supongamos que tenemos la siguiente fracción impropia

P. Profe ¿cómo descompongo fracciones parciales en MatLab?

MatLab no presenta una forma directa para ello, contrario a otros programas de cálculo simbólico. No quiere decir ello que el MatLab no sea un buen programa. De hecho trabaja con otro tipo de problemas en los cuales es muy superior al Maxima o al Derive, por ejemplo lógica difusa. Pero este es tema de la próxima sesión.

Bueno Paco, ya sabes que debes hacer cuando se presentan integrales con fracciones propias e impropias. Las descompones e integras. Hazlo con los siguientes ejercicios:

Ejercicios 11. Calcula las integrales que aparecen en la siguiente escena diseñada por el profesor español Miguel Angel Cabezón Ochoa, miembro del grupo Descartes http://descartes.cnice.mec.es/