¡Integrando con Paco!

Hola Paco! ¿Cómo te fue con los ejercicios anteriores?

P. Bien profe. Pero, ¿cómo lo verifico en MatLab?

Ok Paco. Pero antes déjame mostrarte como se hace en Derive y en Maxima

Fracciones parciales con Derive.

Se usa la función EXPAND, asignación de nombre que responde a lo que realmente se hace: expandir una fracción racional propia en otras fracciones más simples o parciales. En la figura siguiente puedes observar el cálculo de las fracciones parciales del ejemplo de la sección anterior.

Fracciones parciales con Maxima

En este programa se usa el comando partfrac, contracción de las palabras “part fraction”. En el Maxima es importante escribir con respecto a que variable se hace la partición. Para nuestros ejemplos es con respecto a x.

En la figura siguiente he calculado las fracciones parciales de todos los ejemplos anteriores y el primero de los ejercicios propuestos. Los demás los calcularás tú.

Fracciones parciales con MatLab

Aquí la cosa no es tan simple y es que el MatLab incorpora el cálculo simbólico más como utilidad que como objetivo central. El MatLab fue diseñado para responder a otros problemas como el procesado digital de señales, inteligencia artificial, lógica difusa, simulación de sistemas, entre otros.

Una de las ventajas poderosas del MatLab es la posibilidad de trabajar con vectores y matrices, de ahí su nombre (Matrix Laboratory). Las fracciones parciales son operaciones elementales que se requieren para otros cálculos más complejos, transformadas de Laplace por ejemplo. En ese sentio cuando vas a descomponer fracciones parciales en MatLab, éste recurre a su herramienta principal: los vectores. A continuación te explicaré el procedimiento con dos ejemplos.

Ejemplo 3.3.2 Descomponer en fracciones parciales (7x – 1)/(x² - x - 6) utilizando el MatLab

Paso 1. Nombramos dos vectores con los coeficientes de cada polinomio (numerador y denominador) así: A = [7, -1] y B = [1, -1, -6]

Paso 2. Damos la orden [R, P, K] = Residue(A,B). Ésta nos dará como resultado los tres vectores R, P, K, cuyo significado lo entenderás mejor con esta expresión:

Observa que A(x)/B(x) es la fracción propia a descomponer. El vector R(i) no dará los numeradores de las fracciones parciales y el vector R(i) el valor de b en los factores lineales de la forma ax + b, que debn ir en el denominador.

Que coincide con nuestros cálculos anteriores. Veamos otro ejemplo:

Ejemplo 3.3.3 Descomponer en fracciones parciales (x⁴ + x² + 16x - 12)/[x³(x - 2)²] utilizando el MatLab.

Este es el ejemplo del caso dos de la sesión anterior. Inicialmente debemos expandir el denominador. Si estás trabajando con MatLab, puedes expandir con el comando expand. Hecho esto, la fracción racional quedaría de la siguiente forma:

(x⁴ + x² + 16x - 12)/(x⁵ - 4x⁴ + 4x³)

De donde, A(x) = [1 0 16 -12] y B(x) = [1 -4 4 0 0 0]. Debes colocar cero por cada término en x que no aparezca. Miremos que resultados arroja el MatLab

Los valores de los vectores R y P obtenidos son:

R = [ -1 5 2 1 -3]

P = [2 2 0 0 0]

Cuando P muestra valores iguales es porque se trata de factores lineales múltiples. Es decir para P(1)=P(2)=2, las fracciones correspondientes son:

-1/(x-2) y 5/(x-2)²

Para los tres ceros que observas, las fracciones serían:

2/x, 1/x² y -3/x³

Finalmente la expansión sería la siguiente:

Que coincide con lo encontrado en la sesión anterior

P. Bueno, sigo sin saber para qué es el vector K?

Recuerdas lo de las fracciones impropias? Para eso es K. Veamos nuestro ejemplo anterior:

En este caso A(x) = [1 0 -10 3 1] y B(x) = [1 0 -4]

P. Un momento profe. En el primer ejemplo usted utilizó los vectores separando los términos con comas ¿Por qué ahora usa espacios?

Pensé que no lo ibas a notar. Para el MatLab es indiferente como introduzcas el vector. Pero, sigamos con nuestro ejemplo. Al ingresar estos vectores y utilizar el comando residuek, observa lo que se obtiene:

Ahí tiene tu famosa K. Este vector entrega los coeficientes del cociente entra A(x) y B(x). Es decir, el cociente de la división que realizamos en la sesión anterior. 1 para x², o para x y -6 como término independiente. El cociente es entonces,

X² – 6

Otra observación a tener en cuenta es que los valores de R pueden ser dados en forma decimal, por lo que tendrías que transformarlo a fracción.

Por ejemplo -4.25 = - 17/4 y 7.25 = 29/4. Finalmente la solución a nuestro ejercicio sería:

Igual a la obtenida en el último ejemplo de la sesión anterior.

Por último Paco, si tratas de descomponer una fracción parcial con factores cuadráticos, te llevarás una sorpresa.

P. Que bien profe. Cada vez me encarreto más con este cálculo integral. Hasta la próxima

Hasta pronto Paco. Trata de realizar los ejercicios que te propuse anteriormente con alguno de estos programas de cálculo simbólico.