¡Integrando con Paco!

3.4 Integración por sustituciones trigonométricas

Hola Paco. Hoy vamos a trabajar con otra técnica de integración que involucra relaciones trigonométricas.

Antes de ello veamos algunos ejercicios con integrales que incluyen potencias del seno o del coseno:

Integremos

Observa que es un ejemplo de integración por sustitución. Hagamos u = sen x, por lo que du = cos x dx. Al reemplazar obtenemos:

Existen otras integrales con potencias de seno y coseno, las cuales es necesario convertir o transformar de tal manera que podamos emplear la técnica anterior.

Para ello debes recordar algunas identidades trigonométricas como:

sen² x + cos² x = 1

sen ² x = (1 – cos 2x)/2

cos² x = (1 + cos 2x)/2

Veamos un ejemplo. Solucionemos la siguiente integral:

Con la última expresión obtenida podemos emplear la técnica de sustitución o regla de la cadena para integración. Tal como están las expresiones podemos hacerlos directamente:

P. Y esos ejemplos qué tienen que ver con la técnica que vamos a ver?

Es sólo un repaso Paco. Pero más adelante comprenderás. Lo importante del ejemplo anterior es el truco empleado al separar una potencia impar de seno por un producto de una potencia par y la base (sen x). Esta última constituye el truco, ya que nos permite obtener la función interna de la regla de la cadena. Veamos otro ejemplo:

Integrar:

Ahora te propongo que intentes con estas integrales:

EJERCICIOS 12

P. Bueno, son ejercicios de sustitución que ya conocía. Lo novedoso es que tengo que recurrir a las identidades trigonométricas. Las repasaré. Pero, ¿dónde está la nueva técnica?

Vamos pues a la nueva técnica. Te sugiero inicialmente que tengas en mente estas tres relaciones:

cos² x = 1 – sen² x

sec² x = 1 + tan² x

tan² x= sec² x - 1

Las sustituciones trigonométricas se emplean cuando aparecen integrales que contienen una de las siguientes expresiones:

Según el caso recurrimos a una de las siguientes sustituciones:

Veamos un ejemplo. Hallemos: